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本书介绍了微分拓扑、微分几何以及微分方程的基本概念。本书的基本思想源于作者早期的《微分和黎曼流形》，但重点却从流形的一般理论转移到微分几何，增加了不少新的章节。这些新的知识为Banach和Hilbert空间上的无限维流形做准备，但一点都不觉得多余，而优美的证明也让读者受益不浅。在有限维的例子中，讨论了高维微分形式，继而介绍了Stokes定理和一些在微分和黎曼情形下的应用。给出了Laplacian基本公式，展示了其在浸入和浸没中的特征。书中讲述了该领域的一些主要基本理论，如：微分方程的存在定理、性、光滑定理和向量域流，包括子流形管状邻域的存在性的向量丛基本理论，微积分形式，包括经典2-形式的辛流形基本观点，黎曼和伪黎曼流形协变导数以及其在指数映射中的应用，Cartan-Hadamard定理和变分微积分基本定理。目次：（部分）一般微分方程；微积分；流形；向量丛；向量域和微分方程；向量域和微分形式运算；Frobenius定理；（第二部分）矩阵、协变导数和黎曼几何：矩阵；协变导数和测地线；曲率；二重切线丛的张量***；曲率和变分公式；半负曲率例子；自同构和对称；浸入和浸没；（第三部分）体积形式和积分：体积形式；微分形式的积分；Stokes定理；Stokes定理的应用；谱理论。

Foreword

Acknowledgments

PART Ⅰ General Differential Theory

　CHAPTER Ⅱ Differential Calculus

　　1.Categories

　　2.Topological Vector Spaces

　　3.Derivatives and Composition of Maps

　　4.Integration and Taylor's Formula

　　5.The Inverse Mapping Theorem

　CHAPTER Ⅱ Manifolds

　　1.Atlases, Charts, Morphisms

　　2.Submanifolds, Immersi***, Submersi***

　　3.Partiti*** of Unity

　　4.Manifolds with Boundary

　CHAPTER Ⅲ Vector Bundles

　　1.Definition, Pull Backs

　　2.The Tangent Bundle

　　3.Exact Sequences of Bundles

　　4.Operati*** on Vector Bundles

　　5.Splitting of Vector Bundles

　CHAPTER Ⅳ Vector Fields and Differential Equati***

　　1.Existence Theorem for Differential Equati***

　　2.Vector Fields, Curves, and Flows

　　3.Sprays

　　4.The Flow of a Spray and the Exponential Map

　　5.Existence of Tubular Neighborhoods

　　6.Uniqueness of Tubular Neighborhoods

　CHAPTER Ⅴ Operati*** on Vector Fields and Differential Forms

　　1.Vector Fields, Differential ***s, Brackets

　　2.Lie Derivative

　　3.Exterior Derivative

　　4.The Poincare Lemma.

　　5.Contracti*** and Lie Derivative

　　6.Vector Fields and l-Forms Under Self Duality

　　7.The Canonical 2-Form

　　8.Darboux's Theorem

　CHAPTER Ⅵ The Theorem ol Frobenius

　　1.Statement of the Theorem

　　2.Differential Equati*** Depending on a Parameter

　　3.Proof of the Theorem

　　4.The Global Formulation

　　5.Lie Groups and Subgroups

PART Ⅱ Metrics, Covariant Derivatives, and Riemannian Geometry

　CHAPTER Ⅶ Metrics

　　1.Definition and Functoriality

　　2.The Hilbert Group

　　3.Reduction to the Hiibert Group

　　4.Hilbertian Tubular Neighborhoods

　　5.The Morse-Palais Lemma

　　6.The Riemannian Distance

　　7.The Canonical Spray

　CHAPTER Ⅷ Covarlent Derivatives and Geodesics

　　1.Basic Properties

　　2.Sprays and Covariant Derivatives

　　3.Derivative Along a Curve and Parallelism

　　4.The Metric Derivative

　　5.More Local Results on the Exponential Map

　　6.Riemannian Geodesic Length and Completeness

　CHAPTER Ⅸ curvature

　　1.The Riemann Tensor

　　2.Jacobi Lifts.

　　3.Application of Jacobi Lifts to Texp

　　4.Convexity Theorems.

　　5.Taylor Expansi***

PART Ⅲ Volume Forms and Integration

Index

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书籍介绍

《微分几何基础(英文版)》介绍了微分拓扑、微分几何以及微分方程的基本概念。《微分几何基础(英文版)》的基本思想源于作者早期的《微分和黎曼流形》，但重点却从流形的一般理论转移到微分几何，增加了不少新的章节。这些新的知识为Banach和Hilbert空间上的无限维流形做准备，但一点都不觉得多余，而优美的证明也让读者受益不浅。在有限维的例子中，讨论了高维微分形式，继而介绍了Stokes定理和一些在微分和黎曼情形下的应用。给出了Laplacian基本公式，展示了其在浸入和浸没中的特征。书中讲述了该领域的一些主要基本理论，如：微分方程的存在定理、唯一性、光滑定理和向量域流，包括子流形管状邻域的存在性的向量丛基本理论，微积分形式，包括经典2-形式的辛流形基本观点，黎曼和伪黎曼流形协变导数以及其在指数映射中的应用，Cartan-Hadamard定理和变分微积分第一基本定理。目次：（第一部分）一般微分方程；微积分；流形；向量丛；向量域和微分方程；向量域和微分形式运算；Frobenius定理；（第二部分）矩阵、协变导数和黎曼几何：矩阵；协变导数和测地线；曲率；二重切线丛的张量***；曲率和变分公式；半负曲率例子；自同构和对称；浸入和浸没；（第三部分）体积形式和积分：体积形式；微分形式的积分；Stokes定理；Stokes定理的应用；谱理论。